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　　庄子智慧与芝诺悖论

　　作者：陆克武

　　前言：

　　近日读了陈胜的《芝诺悖论与数学模型》突然对芝诺悖论有了兴趣，希望能
找到简明直观的答案，让还在上小学三年级的女儿能够理解思维的乐趣。

　　另外，本文只使用小学数学，还请各位读者耐心看下去。

　　正文：

　　为了说明的完整还得引用题目：

　　赛跑的悖论：阿喀琉斯是希腊神话中的神行太保，但是他永远不可能追上曾
经领先他的海龟。因为当阿喀琉斯到达原先海龟所在位置时，一段时间过去了，
在此期间海龟又跑到一个新的位置，而等阿喀琉斯到达这个新位置时，海龟又跑
到下一个位置。这样经历无穷多次的追逐（到达海龟曾经的位置），阿喀琉斯还
是落后于海龟。这样，看起来阿喀琉斯是永远无法追上海龟了。

　　好，下面我们对问题进行简单的数学描述，为了简化，我们认为阿喀琉斯和
海龟都是匀速奔跑。

　　假设海龟领先阿喀琉斯C米，阿喀琉斯的速度为B米/秒，海龟的速度为A米/
秒。（B>A>0,C>0）

　　阿喀琉斯到达原先海龟所在位置所用时间为：t1=C/B,海龟又前进了A×t1；
再追t2= A×t1/B=AC/BB；依次类推。

　　阿喀琉斯追赶所需总时间为：t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B 
+A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) （公式1）

　　到这，其实答案已经有了，这是一道无穷等比数列，但是需要微积分知识，
暂停。接着往下想。

　　中国古代的庄子有一句非常有名的话“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”
意思是一尺之杖今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的
一半，如是“日取其半”，总有一半留下，所以“万世不竭”。

　　对庄子这句话可以这样理解：留下的部分不断累加直至无穷，但结果肯定等
于一尺。用数学描述为：1 = （（1 - 1/2） + 1/2×（1–1/2）+ 1/4×（1–
1/2）= 1/2 + 1/4 + 1/8 +  …

　　我们再对这句话进行扩展，假设木杖长C/(B-A)，每次截取剩余部分的
（1-A/B） （B>A>0,C>0），（有些假设挺别扭，但为了后面好比较也只好将就
了）数学表达为：

　　C/(B-A) = C/(B-A) ×( (1-A/B）+ A/B×(1-A/B）+ A^2/B^2(1-A/B）… )
　　= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … ) （公式2）

　　呵呵，公式2和公式1的表达式是相同的，而且两个公式中A,B,C的取值范围
也一致，即定义域相同，所以两个式子相等。

　　经过简单的数学变换我们发现，庄子截取木杖的思维竟是芝诺悖论的逆向思
维！

　　所以结论出来了，只要木杖的长度是有限的，阿喀琉斯追上海龟所需总时间
也是有限的，结果表达为：

　　t = t1 + t2 + t3 + …= C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )= 
C/B ( 1 + A/B +A^2/B^2 + A^3/B^3 + … )= C/(B-A)

　　当然，这么解题有一半是从结果倒推的（因为木杖长度是事前计算好的），
但是我得到的启示是古代中国哲人和希腊哲人（他们两人生活的时间也相差不大，
约100多年）都对无限的概念进行了大胆的探索，但方向是相反的，庄子是从有
限到无限，而芝诺是从无限到有限，有意思的是他们在无限处相遇啦。

　　注：
　　1、A^2表示A的2次幂，A^3表示A的3次幂；
　　2、参考陈胜的《芝诺悖论与数学模型》，
http://xys4.dxiong.com/xys/netters/psi1b/chensheng.txt；
　　3、参考吴国增对“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”的解释 
http://zhidao.baidu.com/question/562976.html

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