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“赵爽证明”的白话文翻译

匡耀求
（中国科学院广州地球化学研究所）

赵爽原话：

“案弦图又可以勾股相乘，为朱实二，倍之，为朱实四。以勾股之差自相乘，
为中黄实。加差实，亦成弦实”。

白话文译文：

弦边正方形图中，勾股两边长相乘，等于红色直角三角形面积的2倍，勾股相乘的2倍，等于红
色直角三角形面积的4倍。勾股之差的平方等于中间黄色小正方形的面积。加上弦边正方形与
中间黄色小正方形面积之差，就是弦边正方形的面积。

用数学代号表示：

（首先需要用代号a、b、c代表直角三角形的勾、股、弦三条边的长度，用S代表直角三角形的
面积）

a×b=2S
2 a×b=4S
（b-a）^2+4S=c^2
（b-a）^2+2 a×b =c^2
再化简：
b^2-2 a×b +a^2+2 a×b= c^2
a^2 + b2= c^2
这就是勾股定理。

看赵爽的这段文字，没有一张图在眼前，专家也不一定能看明白，但是有一张图在眼前，初中
文化程度的人就可以看得很明白。解放以前只读过3-4年私塾的人也看得明白。记得我父亲只
读过4年私塾，后来一直当木匠，在我刚学几何的时候（大约11岁）就跟我提到过案弦图与勾
股定理，他说要能拼好案弦图，木匠才算可以出师。

不过这张案弦图在我看来并不是黎日工用8个直角三角形拼出来的那个大正方形，而是用4个直
角三角形拼出来的一个较小的正方形（即弦边正方形，并将直角三角形涂成红色，中间的小正
方形涂成黄色）。用4个直角三角形拼出来的小正方形来证明勾股定理虽然图面简单一些，但
证明过程相对复杂一点，而用黎日工所画的8个直角三角形拼出来的大正方形来证明勾股定理
，虽然图面复杂一些，但证明过程要简单得多。当然，从8个直角三角形拼出来的大正方形图
中也可以得到赵爽的证明。但是如果有了8个直角三角形拼出来的大正方形图，凭赵爽的智慧
恐怕不会舍简就繁。

(XYS20050419)

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