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　　始料所不及

　　黎日工

　　拙文“也谈哥德尔定理”从音乐谈起，是想用“二泉映月”为例来解释“完
备性”——音乐的“完备性”，以为所有象“二泉映月”那样的心曲、天音都能
用音乐符号记下谱来。不料Abada指出：

　　“我本人甚至尝试作过‘连续音流的赋格’，旋律音高频率是连续变化的，
就象手指在提琴弦上连续滑动奏出的无离散固定音高的‘旋律’，而这些连续音
流在电脑上却可以做各种结构处理，形成有意思的音乐结构。这些连续音流，比
起微分音，更无法用传统记谱法记谱，甚至不可能记谱。”

　　短短几句话似乎还不能断定，是否真的没有办法为“连续音流”记谱了？这
个问题并不要紧，不妨留给内行探讨。但是，有一点可以看到，笔者在考虑怎么
谈“哥德尔定理”时有“始料所不及”之处，则是不争的事实。这件事有点幽默。

　　我们谈哥德尔定理之意义，我想，意义大概就在这“始料所不及”之中。数
学某门学科中的公理体系，叙述的事项是普天同理的了，推理的逻辑也是古今皆
然的了，但就是这样坚固的城堡，还可能出现“始料所不及”的“漏洞”！

　　我不禁又想到“趣味”二字：读书的趣味、电影的趣味、科学的趣味…，大
概都离不开这个“始料所不及”。哥德尔定理之所以极为有趣、极为伟大，因为
它本身就是一个极大的“始料所不及”！所以，我们是否可以用这样一句简单的
话来谈哥德尔定理：通过这一定理，哥德尔告诉我们：不必担心，数学永远有趣！

　　我也想过用矿物与元素周期表来“解释”完备的概念，那可能也讲不清楚，
或者干脆用夸克，但夸克真的有吗？吃得准的事倒有一项：“领袖指示”与“人
民日报社论”，所谓“喉舌”关系也，但太政治了自然也就无聊。…选来选去却
选中了一个外行——音乐！在哥德尔面前，笔者竟无意中也“表演”了一下“始
料所不及”，不是很幽默吗？

　　对于哥德尔定理，一木及xinku二位也提出了意见。赞成的意见就不说了，
且看xinku一段话：

　　“哥德尔不完全性定理确实革了数学公理化的命，这没什么可羞于承认的。
那种把整个数学纳入一个公理体系的做法是行不通的。…现代数学里没有公理的
数学分支多了去了，例如组合论，复杂性理论……有公理当然好，没有公理也能
活！…”

　　我们不知道是否有数学家想“把整个数学纳入一个公理体系”？就算有过，
这条路走不通如何能推出“哥德尔不完全性定理确实革了数学公理化的命”呢？…
革命革命，要把“数学公理化”枪毙掉才算数吧？这符合数学的事实吗？

　　我们之所以讨论哥德尔定理，是因为有人以它为后盾断言：

　　“…以还原论思想为基础、以公理化方法为指导的西方科学，…目前出现了
障碍，…遇到了很大的障碍，出现了不可持续的严重问题”

　　如果哥德尔定理真把“数学公理化”毙了，那我们就在瞎起哄了！至少笔者
之辩全输。如果xinku握有实据，应予阐述，还他人以公道。

　　至于“现代数学里没有公理的数学分支多了去了，例如组合论，复杂性理
论……有公理当然好，没有公理也能活！”，我们请教一点，在这些分支中有没
有“证明”？如果有“证明”，就必须有“根据”，这“根据”归根究底又来自
何处？

　　在数学中，大概废“证明”之时方到抛“公理体系”之日，不知君以为然否？

　　（2005年6月18日）

(XYS20050620)

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