◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys.3322.org)◇◇ 江苏高考数学卷错题对考生答卷的严重影响不容忽视 ——与环无端先生商榷 朱如曾 （zhurz@lnm.imech.ac.cn） 摘要：2003年江苏高考数学卷第一题第1小题的错误对考生在该题上的得分 及答卷的全局影响均是严重的，尤其是对那些平时数学成绩比较好的同学而言。 环无端先生"尽管备选答案有问题，但基本不影响选择"的看法仅仅考虑了一种可 能的解题思路，而忽略了所有其它多种思路，故并不能反映真实情况。 环无端先生的文章《对"2003年江苏高考数学卷第一题第1小题"事件的看法》 （XYS20030722）同意笔者文章《专家们算不算在欺蒙教育部长和公众？》 （XYS20030717）对江苏高考数学卷第一题第1小题应属错题的看法，并且强烈地 批评了那些不承认错误的专家。对于他的支持，我表示由衷的感谢。 但他不同意本题会严重影响答题，进而影响成绩，他认为"尽管备选答案有 问题，但基本不影响选择。"我能够理解这种看法，因为咋一看来，似乎如此； 但我完全不同意这种看法。究竟这道错题对于学生的答卷有无重大影响无疑是一 个重要问题，而且如果在这个问题上有所含糊的话，很可能不幸而为某些涉事人 员所利用，成为他们文过饰非的理由之一,所以我很愿意与环先生一起对这个问 题作进一步的公开探讨。 他的"基本不影响选择"的结论是这样得到的：（该题请见： （http://www.people.com.cn/GB/kejiao/230/10197/10728/20030612/1015607. html） 首先他以他本人试解此题的过程为例，第一步，他解得了正确解"|b|>2|a|， 且a不等于0"。然后第二步，他做出了正确判断"严格说来，本题无正确答案可选。 严格地说，这是一道错题。"第三步，他选择了明知为错误的答案"C"，其指导思 想是考虑到"其余的选项根本不沾边，错的离谱。'C'选项只有一点问题，就是b 轴没用虚线表示"。然后第四步，推而广之，得出结论："只要真的会求解，就不 应该选择其他答案。" 其实环先生对于他的结论的上述归纳论证方法是不成立的，因为例子太少， 只有他自已试解一例。他只考虑了一种思维模式，而忽视了所有其它可能存在的 思维模式。现在我们较全面地考虑如下： 1. 错题及"评分标准不变"对有能力解答该题的考生（R5）的严重影响 1．1． R5考生在错题上丢分严重 1.1.1．定性分析 假定有一组有能力解出此题的考生｛R5｝。如果图C不错，那么他们应该得5 分，所以称其中每一位为R5。现在四个选项都错了，我们来分析他们可能怎么样 动作。 有两种可能做法： (1) 单条件排除法：这又可分为二种情况： (1-1) 先根据题意"有两个交点"，直接得出必要条件"a不等于0"（因为如果 a等于0，那个函数就是一次函数，与x轴最多只有一个交点）。根据此条件实行 排除法，则A、B和C均被排除，而D 符合条件"a不等于0"，于是选D，得0分。 （学生不可能假设题目错，而在假设题目正确的条件下，这是最简便的处理方法， 逻辑上完全正确，且反映了思维的灵活性。这样好的方法反而得了0分，这充分 反映了错题冒充对题计分的极端的不合理性。） (1-2) 根据题意"有两个交点",由根的判别式得出必要条件|b|>2|a|。然后 根据排除法选C，得5分。 （2）双条件排除法：先解出条件"|b|>2|a|，且a不等于0"，然后任意检查3 个图，必定发现全不符合条件，从而直接选剩下的一个，可有三种情况出现： （2-1）剩下的是D，则得0分； （2-2）剩下的是A或B，则得0分； （2-3）剩下的正好是C，则得5分。 如果有考生发现3个图全不符合条件，在选剩下的一个时，又注意到它也不 符合条件，则我们把这种情况归入下面的综合法思路中。 （3）综合法：先求出正确解条件"|b|>2|a|，且a不等于0"。然后又可分为 二种情况： （3-1）先按照惯例把阴影区认为是符合题意的"区域"，发现4个选项全错， 可是题干又规定必须有一个图是对的。他们不能假设题目错了，于是为了找到一 个对的图，经花费不少时间苦苦思索后才恍然大悟，原来出题者是用阴影代表符 合题意的"区域"的外部，而空白才代表符合题意的"区域"，从而选了图D, 得0分。 （这也是完全正确的逻辑思维方法，而且显示了较强的全面分析能力，可是在错 题按对题计分的当前情况下，反而得了0分。） （3-2）根据正确解条件"|b|>2|a|，且a不等于0"，并坚持把阴影区视为符 合题意的"区域"，从而认定了本题为错题。然后又有二种可能： （3-2-1）他们想，既然都是错图，如果选了，肯定得不了分，于是就不选， 而注明"此题是错题"，相信高招办将一定会宣布该题为错题，那时他的得分也许 会高于未能识别错题者。然而现实是，考试中心认定此题不错，并明确宣布"评 分标准不变"，于是他实际得了0分。 （http://news.sohu.com/29/42/news210204229.shtml） （http://edu.qianlong.com/6237/2003-6-16/78@900135.htm）（这一选择 需要思维的高度严谨性和对本错题清楚而坚定的把握。可是反而得0分，这也充 分暴露了错题冒充对题计分的极端不合理性。）还可能有人先搁置不选，而以后 又未有时间再考虑的，也得0分。 （3-2－2）他们想，虽然是错题，总要选一个吧？于是选最接近正确的一个 C，得5分。（学生不可能估计到考试中心会坚持错误不改，所以，思维严格的考 生取此思路的可能性按说不会太大，因为这个想法实际上含有逻辑错误：题目要 求考生选对图，他却冒险选了最接近对图的图C。正好考试中心指鹿为马，把C冒 充为对图，才把别人打了下去，给了他5分。如果考试中心实事求是宣布撤销此 题，他们就与别人平等了。） 现在我们看到，对于R5而言，当他们面对错题时，只有3种通往5分的思路， 同时却存在着5种逻辑上完全正确，但会通往0分陷井的思路在等着他们。特别是 后者中某些思路具有简捷性，因而往往被优秀生所乐于采用。这已充分说明错题 按对题计分造成恶劣后果之不可避免性。 1.1.2 参考定量分析 我们很难估计每一种思路发生的概率是多大。不过为了有一个大致的概念。 我们可以姑且粗略地假设下列参考概率： （a）思路（1）的概率＝1/6，思路（2）的概率为＝1/12，思路（3）的概 率为＝9/12。 这是因为考生知道，在选择题上不能花费许多时间，而排除法是省时间的利 刃，所以R5考生有用排除法的倾向；可是，排除法要求灵活性和把握性，这使得 不是每个R5都用它，特别是双排除法需要求得两个条件，而一旦已求得两个条件， 考生就会有用综合法的倾向。在对正反两种因素权衡之下，我们作上述估计。 （b）思路（1-1）的概率：思路（1-2）的概率＝1:1。 （c）思路（2-1）的概率：思路（2-2）的概率：思路（2-3）的概率＝ 65:18：1 考生往往从A至D逐个排除，其次是反向逐个排除，很少任意排除。如果假定 这三种序的概率比例为16:4:1，则得到上述估计。 （d）思路（3-1）的概率：思路（3-2）的概率＝1:5。 阴影代表符合题意的"区域"的外部，而空白才代表符合题意的"区域"，这种 理解虽然不是考生的习惯，但是它是使题目不错的唯一理解方式。考生在这种特 别理解方式与题目是错的这两者之间究竟愿意承认哪一种呢？显然倾向于前者。 不过，不一定每一个进入思路（3）的R5都想到前者。在对正反两种因素权衡之 下，我们作上述估计。 （e）思路（3-2-1）的概率：思路（3-2-2）的概率＝1:5。 这五点假设虽然不可能很正确，但看起来与情理相距不很大，可以作为近似 处理的基础，以求得有关的参考值。不过我要强调，本文的主要论点并不依赖于 五点定量参考概率假设。根据五点假设容易算出： 思路（1-1）的概率＝1/12 思路（1-2）的概率＝1/12 思路（2-1）的概率＝65/1008 思路（2-2）的概率＝18/1008 思路（2-2）的概率＝1/1008 思路（3-1）的概率＝1/8 思路（3-2-1）的概率＝5/48 思路（3-2-2）的概率＝25/48 进一步给出 选C的概率＝0.61 选D的概率＝0.27 选A或B的概率＝0.02 不选的概率＝0.10 一组原本应该得5分的考生｛R5｝，现在有61/100仍选C，得5分；另27/100 选D，得0分；2/100选A或B，得0分；还有10/100不选，得0分。平均得3.05分。 这个影响不能说不严重吧？如果注意到，对于完全不会解题的考生组（R1.25）， 他们随机乱选，也有1/4的人数得5分；3/4的人数得0分，平均得1.25分，影响的 严重性就更明显了。这可以从有效分数（即以1.25分为计分的零点）来说明：如 果题目不错，则R5的期望有效分数是3.75分，而现在却只有1.80分。下降了52%。 这个影响应该算非常严重的！ 当然，上面笔者对R5考生所采用的5点定量的参考概率假设有待实际检验， 不能说很可靠，所以，得到的数字结果仅供参考。 如果有人认为考生在考场上时间的紧迫性和精神的紧张性都不允许他们仔细 考虑，因此本文的细致分析结果未必可信，那么笔者可以借用马克思的价值规律： "价格围绕价值波动"来类比地说，考生的实际得分围绕细致分析结果波动。 1.1.3 小结 基于5点定量参考概率假设得出的参考结果，以及独立于5点定量参考概率假 设的定性分析结果均清楚地表明，错题按对题计分对于考生在该题上得分影响的 恶劣性是无可非议的。 以上是理论分析。报载南京雨花台中学副校长穆耕森说，经过他们在学生中 调查，不少好学生都选错了，这就是错题按对题记分对考生在该题上得分影响严 重的实际证据！ （http://cn.news.yahoo.com/030615/72/1npn5.html） 1.2．错题对R5考生答卷的全面影响 以上分析仅仅限于图C的错误对于R5考生在该题上实际得分的影响。实际上， 进入（3）类思路的考生（约占R5考生的75%（参考值）），看到没有一个正确的 图，无所适从，既耗费了许多时间，又从开卷第一题就形成了对整个考试过程的 思维都有影响的心理扰乱和精神压力，这可能导致他们在其它题上易于丢分，甚 至来不及完成全部试题而大量丢分。后者甚至有可能比在错题上丢5分还要严重！ 强调这一点决不是耸人听闻。2003年06月17日《扬子晚报》报道 （http://edu.qianlong.com/6237/2003-6-17/78@903642.htm）："经江苏省招 办组织专家'反复论证'，并由国家教育部考试中心有关部门确认，有议论的第1 小题不是错题"。我们看到，专家经"反复论证"，尚且把错题论证为"不错"，考 生在该题上要花费多少时间才能辨识他们遇到的疑难之奥妙呢？经历江苏和北京 的一次辩论和二次论证之后，专家们仍然在给教育部的论证报告中说"本题现有 的表述不应影响学生答题"，其原因实在值得深思！ 2. 错题及"评分标准不变"对不能正确解题考生的影响不大，甚至提高了分 数 错题使解丢了条件"a不等于0"的考生肯定毫不犹豫地选C，从而肯定得5分； 而如果图C不画错的话，他们是有一定可能不选C，从而有一定可能得0分的。而 且，错题没有使他们耗费许多时间，不仅没有形成心理扰乱和精神压力，反而鼓 舞了他们的士气。其他非R5考生也未受耗费许多时间，并形成心理扰乱和精神压 力之苦。 3. 错题不应计分 3.1. 选C者得5分而选D者得0分的现行评分标准的严重不合理性 从第2节的结果容易得到如下参考数据： 选C考生的构成： 3类R5考生（思路（1-2），（2-3）和（3-2-2）），占R5考生的61%； 解丢了条件"a不等于0"的考生； 不会解的考生中随机选中C的，占全部不会解考生的25%。 选D考生的构成： 3类R5考生（思路（1－1），（2-1）和（3-1）），占R5考生的27%； 不会解的考生中随机选中D的，占全部不会解考生的25%。 容易看出，R5考生在选D的考生与选C的考生中的数量，前者几乎达后者的一 半（参考值）。即使不用这个定量参考结果，至少可以说，两者都不可忽视吧。 所以现行的选C者得5分，选D者得0分的标准是极不合理的！ 3.2．错题不应计分 咋看起来，给选C者和选D者都记5分就完全解决问题了。实际上，一方面， 这样做时它的分值与其它没有问题的选择题的分值相比，识别考生水平的功效是 大大降低了。这是因为对于正常4选项的选择题，通过随机选择而选中正确答案 的概率是1/4，而本题的随机获分率则是1/2！其中还未包括解丢了条件"a不等于 0"的考生一定选C而增加的获分率。另一方面，选A，B，或不选任何选项的考生 中也有R5考生。从第2节的结果容易得到如下参考数据： 选A或B考生的构成： 1类R5考生（思路（2-2）），占R5考生的2%； 不会解的考生中随机选中A或B的，占全部不会解考生的50%。 不选任何选项考生的构成： 1类R5考生（思路（3-2-1）），占R5考生的10%。 可以看到，在选A，B，或不选任何选项的考生中的R5考生占R5考生的12% （参考值）。这个比例虽然不大，但绝对数目却不会小，因为江苏考生总数达34 万。退一万步讲，即使人数很少，他们的冤枉失分也是不容忽视的。胡锦涛《在 "三个代表"重要思想理论研讨会上的讲话》（2003年7月1日）中要求"群众利益 无小事。凡是涉及群众的切身利益和实际困难的事情，再小也要竭尽全力去办。 " 总之，当考生面对一道错题时，我们没有理由规定他们一定应该怎样思考。 所以对于错题，应该取消其计分资格，或全部考生给5分。 4. 结果与讨论 错题的后果严重性表现在二个方面： （1）在错题的得分上体现为，优秀生平均得分下降，而较差考生平均得分 反而略有提高。具体来说： （a）本文的粗略概率分析得到：错题使原本有能力解此题的考生（即如果 图C不画错的话，肯定得5分的考生，简称R5）中61/100仍选C，得5分；另27/100 选D，得0分；2/100选A或B，得0分；还有10/100不选，得0分。平均得3.05分。 这个影响显然是严重的。如果注意到，对于完全不会解题的考生组（R1.25）， 他们随机乱选，也有1/4的人数得5分；3/4的人数得0分，平均得1.25分，影响的 严重性就更明显了。这可以从有效分数（即以1.25分为计分的零点）来说明：如 果题目不错，则R5的期望有效分数是3.75分，而现在却只有1.80分，下降了52%。 这个影响应该算非常严重的！ 即使因为本文采用的"5点概率假设"不是绝对可靠，使得定量结果仅有参考 意义，那么，单从定性分析看，错题的严重后果也是不容忽视的：对于R5而言， 当他们面对错题时，只有3种通往5分的思路，同时却存在5种逻辑上完全正确， 但会通往0分陷井的思路在等着他们。特别是后者中某些思路具有简捷性，因而 往往被优秀生所乐于采用。 （b）其次，错题使遗漏条件"a不等于0"的考生肯定选C，从而肯定得5分； 而如果图C不画错的话，他们是有一定可能不选C，从而有一定可能得0分的。 （2）全局影响：更为严重的是，作为开卷第一题，这道错题耗费了R5中许 多考生的大量时间，并形成了对整个考试过程都有影响的心理扰乱和精神压力， 可能导致他们在其它题上易于丢分；甚至来不及完成全部试题而大量丢分。而错 题对较差考生就没有这些影响，甚至对于遗漏条件"a不等于0"的考生，反而因容 易选择而得到精神鼓舞。 因此错题本身以及对错题维持评分标准不变的决策，对于考生的答卷及成绩 记录的客观性的影响是极其严重的，尤其是对那些平时数学成绩比较好的同学而 言。正如《支持朱如曾质问"专家们算不算在欺蒙教育部长和公众"》 (XYS20030722)一文中所说："因此在某种程度上讲,这次考试是不公平的,尤其对 那些平时数学成绩比较好的同学而言。" 环无端先生"尽管备选答案有问题，但基本不影响选择"的看法是仅仅考虑了 思路（3-2-2），并忽略了所有其它七种思路而得到的，故并不反映真实情况。 5. 我的希望 这个问题本来很简单，取消此题即可。我6月20日与在京的出卷专家辩论时， 江苏正在阅卷；6月23日在周部长的过问下重新组织专家论证时，正是江苏阅卷 的最后一天〔江苏阅卷时间： 6月13-23日 （http://202.102.2.89/allnews/2003/6/14/gn/gn-09-00-54-1868.htm） （http://news.563.cn/article/2003/2003-6-24/43327.html）〕。两次容 易纠正错误，免除后遗症的机会都失去了。越隐瞒，越难处理。目前江苏已进入 本二类录取阶段，无法修改评分标准，只好检讨错误，吸取教训，防止今后类似 事件的重演了。为此，我建议： （1） 专家们应回到实事求是的科学精神和对考生负责的态度上来，宣布撤 销错误的论证报告。对于这样一个连高中学生都能自我纠正的错误，专家却宁可 指鹿为马，也没有勇气承认，这对于今后培养学生的良好学风极为不利，也容易 使学生对社会的诚信丧失信心。 （2） 江苏的权威教授们以权威姿态公开提出的所谓"论证"，如不加以公开 纠正，对逻辑思维方式尚未成熟的高中学生的今后成长所造成的坏影响是难以估 量的！所以在什么报纸上把错题说成没有错误的，就应该在什么报纸上公开纠正 错误，消除影响。 （3） 从这一典型事例开始，在中国确立一个明确的原则：凡高考出现错题 或有争议题应立即取消此题的计分资格，更不能文过饰非，错题冒充对题计分， 以维护高考的严肃性、公平性和选拔人才的尽可能的准确性。 （4）有关部门应制定保证高考命题正确和发现错题能及时纠正的法规。 不知环先生对笔者的意见是否同意。笔者希望而且相信能够通过真诚的讨论 与环先生取得共识，因为我们主观上都是坚持实事求是原则的。 (XYS20030731) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys1.dyndns.org)(xys.3322.org)◇◇