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“考试悖论”杂议

约客

1. 有人认为讨论这个问题是小儿科,也有人认为这个问题很高深,不可妄议.其实,
是问题就可以讨论,感兴趣就可以研究.问题简单也好,文献丰富也罢,独立思考是没
有错的.前人做过的,现在也可以研究,只是没有优先权而已,但还是能锻炼思维能力
的.有文献就一定要引用吗?不一定吧,况且《新语丝》并非学术期刊.据传,校友牛人
文小刚(MIT教授),平时就不大看期刊上的论文;通过找人神侃,看还有什么问题没有
解决.大名鼎鼎的Nash,当年也是如此.所以,还是要感谢方舟子把这个问题登出来.

2. “考试悖论”是否还可以如下解:学生在老师讲完后,马上预测下周一考.由于老
师有言在先,所以下周一不考.到了下周一,学生接着预测下周二考.还是由于老师有
言在先,所以下周二也不考.依此类推,下周不会考试.结论,老师的话自相矛盾.(脆弱
提出了类似的观点,但没有深入讨论)

    大家注意,老师并没有对预测的次数作出规定或限制,故学生可以随时间的流逝,
作出新的预测.由于时间有序,这样预测也是可行的(故而,时间和空间还是有区别的),
而且不违背逻辑.即使同一个学生只能预测一次,结论依然成立,因为六个学生可以依
次预测.关键在于,只要有一个学生或一次预测正确,老师的话就必然自相矛盾.可能有
人会说,预测不是逻辑推理.是的,但我们并非一定需要用逻辑推理去证明一个陈述的
非真性.

    这似乎与abada关于"自由意志"的讨论联系起来啦,因为学生的预测迫使老师改变
其决定.另一方面,这个推论不存在所谓的“预期理由”的错误(尽管笔者并不认为这
是个错误.讨论见下面第4条),并具有可操作性,因此"大卫"可免一死(见下面3).

3. “考试悖论”与“智者悖论”的主要区别:A,国王可以改变决定(罗集人:"C如果大
卫前一天就知道了他哪天要被处死，那一天就不要执行死刑"),老师却没有明确指出
这一点;B,大卫是一人,学生却有许多(一般多于六).如果国王规定,大卫只能与他交换
一次信息,则这两个悖论是不一样的.但根据以上引言,国王实际上是容许大卫与他多
次交换信息的;也就是说,国王给了大卫一条生路(因为大卫若猜错,并无不良后果!).
大卫的错误在于,没有主动迫使国王改变其决定.

4. 关于学生推论犯有“预期理由”错误(罗集人)的问题:罗集人的理解可能有误.简单
说来,学生的推理(罗集人:“归谬法”)并不要求预期理由为真,而只要"可能"为真即可,
因为这个(非零概率)可能性的存在,足以从逻辑上否定前题的真性.

    常识告诉我们,如果罗集人的观点正确,那逻辑的用处就要大打折扣了(当然"悖论”
往往是"常识"引起的).其实,“反证法”也同样存在“预期理由”.这里的预期与时间或
未来实际上没有必然联系,只要有多于一种的可能,就有预期("期望"也许更准确).比如
A与B用抛一个完好(fair)的硬币赌博,A在抛前说他肯定赢(正面).B说如果抛出反面(预
期理由),A就不会赢,因此A的说法不对.B的推理错了吗?当然没有.

    因此,同abada等人的观点一样,我认为学生的推理无错,老师的话自相矛盾.前面
第2条已给出另一个结论一样的推理.

5. 关于符号化:符号化本身并不能深化逻辑或数学的意义,因此不能作为结论深刻或正
确与否的标准.符号还是以语言为基础的,并需要用语言来解释.

    其实,我看老师的话纯属多余,他不就是想在学生不复习(准备)情况下考学生吗?什
么也不说就行了.我想数学家对这个问题的态度(vale引用Chow文:"Unfortunately, 
most mathematicians are unaware of this because most of the literature has 
been published in philosophy journals."),还是对的.这是个业余问题,哲学家讨论
它,可以出文章,换饭吃,搞得越复杂越好;但数学家搞它的必要性似乎就不大了.

(XYS20050424)

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